선형대수 초반부 정리

1장. 선형방정식 계(=선형계)

ex) x₁ + x₂ – x₃ = 0

● 해 : 존재성

유일성

⓵존재하는가? -> ⓶유일한가? / 무수히 많은가?

< 기본행연산 >

1) 교체 : 하나의 행에 + (다른행 x 상수) 

2) 교환 : 두 행을 서로 바꿔줌(ex: 1행 <-> 2행)

3) 스칼라곱 : 한 행에 x 상수 (ex : 2행 x 1/2)

1.2 행 축소와 사다리꼴

<사다리꼴 행렬>

1) ┏ 1   2  3  4 ┓

   ┃ 0   2  3  4 ┃

   ┃ 0   0  4  5 ┃

   ┗ 0   0  0  0 ┛

영행은 가장 아래쪽에 위치

2) 주성분은 내려갈수록 오른쪽으로 감

3) 주성분 밑에 있는 열의 성분은 모두 0

● 추축위치

행렬 A의 추축위치는 행렬 A의 사다리꼴 행렬의 주성분의 위치와 동일하다.

추축열은 추축위치를 포함하고 있는 행렬A의 열이다.

- 기본변수 : 추축열에 있는 변수

- 자유변수 : 추축열에 없는 변수

● 해의 존재성과 유일성

- 존재성 : 첨가행렬의 가장 오른쪽 열이 추축열이 아닐 때, 해를 갖는다.

- 유일성 : 선형계가 자유변수를 갖지 않을 때, 해는 유일하며, 자유변수가 하나라도 존재하면, 해는 무수히 많다.

1.3 벡터방정식

● R의 대수적 성질

- u, v, w ∊ Rⁿ 과 스칼라 c, d에 대하여 다음이 성립한다.

(a) u+v = v+u

(b) (u+v)+w = u+(v+w)

(c) u+0 = 0+u = u

(d) u+(-u) = -u+u = 0

(e) c(u+v) = cu + cv

(f) (c+d)u = cu + du

(g) c(du) = (cd)(u)

(h) 1u = u

● 일차결합

v₁,v₂,,,,,,v_p 의 일차결합 : (정의)

x₁v₁ + x₂v₂ + ...... + x_pv_p (스칼라배 후 더한 것)

● Span(생성)

- 일차결합을 모두 모아놓은 것 (집합)

- 예 : Spanbmatrix { 1  # 0 } , bmatrix { 0  # 1 } = { x_{1} bmatrix { 1  # 0 } + x_{2} bmatrix { 0  # 1 }}| x_{1}, x_{2}:스칼라}}

- 즉, Span은 평면을 두 개 나타낸다.

- 직선이든, 평면이든 0이라는 ‘항등원’이 존재 (영뻭터)

= 생성집합은 반드시 영벡터를 품고 있다.

1.4 행렬 방정식 Ax = b

Ax = (정의) x_{1}a_{1} + x_{2}a_{2} + ..... +x_{n}a_{n} (단, a_{1},......,a_{n}은 A의 열)

● 방정식 Ax = b가 해를 가질 필요충분조건은 b가 A의 열의 일차결합인 것이다

★★★ 정리 4 ★★★

A가 m x n 행렬이라 하자. 이 때 다음의 세 명치는 동치이다.(계수행렬에 관한 것)

- 모든 b∈R^{m }에 대하여 방정식 Ax = b가 해를 가진다.

- 모든 b∈R^{m }는 A의 열의 일차결합이다.

- A의 열이 R^{m }을 생성한다.

- A가 모든 행에서 추축위치를 가진다.

1.5 선형계의 해집합

● 동차와 비동차

Ax = 0 (동차)

Ax = b( 비동차)

- 동차방정식은 자명한해를 가질 수밖에 없다.

(자유변수가 있는 경우 자명한 해도 갖지만 다른 무수한 해도 갖는다)

- 동차방정식의 해의 평면은 반드시 영점을 지나고, 비동차방정식의 해의 평면은 반드시 영점을 지나지 않는다.

1.7 일차독립

v_{1},....,v_{p} : 일차독립 LRARROW_정의 x_{1}v_{1} + .... + x_{p}v_{p} = 0(동차방정식)이 자명한해(모두 0)만 갖는다.

즉, 동차방정식이 자유변수를 갖지 않는다.

● 정리 7 

S = {v_{1},....,v_{p}} : 일차종속

<=> S의 적어도 하나의 벡터가 다른 벡터들의 일차 결합

=> v_1≠ 0 이면 j 가 존재하며 v_{j} = x_{1}v_{1}+ .... + x_{j-1}v_{j-1}

동차방정식이 자명한해 ‘만’ 가지면 독립

1.8 선형변환

● 변환 또는 사상 T가 다음을 만족하면 선형(Linear)이라 한다.

- T의 정의역에 속하는 모든 u, v에 대하여

T(u+v) = T(u) + T(v)

- T의 정의역에 속하는 모든 u와 임의 상수 c에 대하여

T(cu) = cT(u)

1.9 선형변환에 대한 표준행렬

● 정리 10

T: R^{n} -> R^{n} 선형변환 <-> T(x) = Ax를 만족하는 행렬 A가 유일하게 존재

- 단, A(T의 표준행렬) = [T(e_{1}).....T(e_{n})])

● 해의 존재성과 유일성

T:R^{n}->R^n “일대일 변환” (= 단사함수)

(정의) : R^m에 속하는 b가 많아야 R^n의 한 x의 상이면, 일대일변환

- T(x) = 0 은 자명한 해만 갖는다(해의 유일성)

- A의 열벡터들이 일차독립

T:R^{n}->R^n “위로의 변환” (= 전사변환)

(정의) : R^m의 b가 R^n에 속하는 적어도 한 x의 상이면, R^m 위로의 변환

- A의 열들이 R^m을 생성

- 계수행렬 A가 모든 행에서 추축위치를 갖는다.

- 모든 b에 대해 Ax = b가 해를 갖는다.

- 해의 존재성과 관련